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| 球體計算 |
更新時間：2010-12-16 11:08:41
（ 編輯：清風斬月 ）
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球體的定義
定義：空間中到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做球。
球面是一個連續曲面的立體圖形，由球面圍成的幾何體稱為球體。
球體的組成
球的表面是一個曲面,這個曲面就叫做球面。
球和圓類似,也有一個中心叫做球心。
星體，特指“地球”。
數學中的球體
球體基本概念
半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面叫做球面。
球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球。
半圓的圓心叫做球心。
連結球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑。
連結球面上兩點并且經過球心的線段叫做球的直徑。
球體性質
用一個平面去截一個球，截面是圓面。球的截面有以下性質：
1 球心和截面圓心的連線垂直于截面。
2 球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關系：r^2=R^2-d^2
球面被經過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經過球心的截面截得的圓叫做小圓。
在球面上，兩點之間的最短連線的長度，就是經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離。
球體函數
半徑為r的球的函數為：r^2=x^2+y^2+z^2
球體的計算公式
半徑是R的球的體積 計算公式是：V=（4/3）πR^3(三分之四乘以π乘以半徑的三次方)
V=（1/6）πd^3 (六分之一乘以π乘以直徑的三次方)
半徑是R的球的表面積 計算公式是：S=4πR^2（4倍的π乘以R的二次方）
圖1
證明：
證：V球=4/3*pi*r^3
欲證V球=4/3pi*r^3，可證V半球=2/3pi*r^3
做一個半球h=r, 做一個圓柱h=r(如圖1)
∵V柱-V錐
= pi*r^3- pi*r^3/3
=2/3pi*r^3
∴若猜想成立，則V柱-V錐=V半球
∵根據卡瓦列利原理，夾在兩個平行平面之間的兩個立體圖形，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果所得的兩個截面面積相等，那么，這兩個立體圖形的體積相等。
∴若猜想成立，兩個平面：S1(圓)=S2(環)
1.從半球高h點截一個平面 根據公式可知此面積為pi*(r^2-h^2)^0.5^2=pi*(r^2-h^2)
2.從圓柱做一個與其等底等高的圓錐：V錐 根據公式可知其右側環形的面積為pi*r^2-pi*r*h/r=pi*(r^2-h^2)
∵pi*(r^2-h^2)=pi*(r^2-h^2)
∴V柱-V錐=V半球
∵V柱-V錐=pi*r^3-pi*r^3/3=2/3pi*r^3
∴V半球=2/3pi*r^3
由V半球可推出V球=2*V半球=4/3*pi*r^3
證畢
當然，求球體體積的方法很多，較容易讓人理解的是用重積分的方法
解：積分區域如圖
積分區域，圓的半徑為r
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文章來源：中國投影網
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